Abstract
In this thesis we establish four generating relations for the extended Hermite polynomials.
Among the cases discussed in this thesis are: Hermite polynomials of two variables and Hermite polynomials with two index and two variables.
All the steps are written, starting with recurrence relations, commutative operator relations, and we gain some novel generalizations of well-known generating relations from the expanded form of the groups formed by the operators.
These polynomials are used in a variety of pure and applied mathematics domains. (Dattoli et al 2003,2004). They are instrumental in describing the quantum treatment (Kim and Noz 1991) of coupled harmonic oscillation. Through this thesis, we consider three generalizations: Hermite two index and four variables polynomial, Hermite polynomial of two index and two variables.

ملخص
في هذه الرسالة تمت دراسة كيفية توليد العلاقات ثنائية المؤشر وثنائية المتغيرات متعددة الحدود المرتبطة بدالة هيرمايت من خلال نهج ويزنز.

تشمل الحالات التي نناقشها في هذه الرسالة؛ توليد العلاقات بين مؤشرين متعددي الحدود هيرمايت المعممة، توليد علاقات بين مؤشرين واثنين من متعددات حدود هيرمايت المتغيرة.

تم توضيح كافة الخطوات بتفاصيلها المرتبطة بنهج ويزنر بدءاً من إيجاد العلاقات التكرارية ثم الحصول على العلاقات المؤثرة والعلاقات التبادلية بينهم، إضافة إلى الصيغة الممتدة للمجموعات الناتجة من هذه العلاقات المؤثرة، لننتهي بالحصول على علاقات مولدة جديدة والي هي تعميم لعلاقات أساسية معروفة سابقاً.